函数连续一定可积,可积一定有界,那为什么连续不一定有界

函数与积分的关系是数学中的重要概念。这里涉及的“可积”通常指的是黎曼可积。在闭区间[a,b]上的连续函数，根据黎曼积分的性质，一定是可积的。而连续函数在该区间可积，意味着函数在该区间上必定有界。因此，连续函数在闭区间[a,b]上，一定有界。

这一结论的提出，基于一个基本前提：在讨论积分问题时，我们通常关注的是闭区间[a,b]上的黎曼积分。对于这类积分，可积的定义要求函数在该区间上连续或满足某些其他条件，从而确保积分存在的前提下，函数在该区间内有界。

然而，当涉及到更广泛的积分概念时，比如勒贝格积分，情况则不同。勒贝格积分的范围更为广泛，可以处理更多类型的功能，但同时，可积不一定意味着有界。因此，关于函数连续性和可积性之间的关系，我们应当在特定的积分框架下进行讨论。

总结而言，连续函数在闭区间[a,b]上的可积性，以及由此推断出的有界性，是在黎曼积分框架下的特定结论。不同类型的积分（如勒贝格积分）可能带来不同的结论，因此在数学研究和应用中，明确积分的类型及其相应性质至关重要。