空间的不同概念以及空间内物体降维涉及的信息丢失问题

空间，是一种数学性的抽象假设。

空间是个什么东西呢？你可以利用不同的数学方法对其解读，进行描述，但是，空间并不事实存在，它是一种抽象表达的几何范畴。空间就是一个容纳存在的抽象范畴。

欧氏几何空间基于直线无限长的定义基础是个无限的范畴；

非欧几何分两种，一种如四维时空一样，极限弯曲导致的有限范畴意义或者是局部有限的范畴；另一种是如四维超体，基于数理性的前提定义，基于明确的三维几何体，也相当于基于有限长的线段，那么，它是有限的空间范畴；

还有一种是数理文化意义的有限与无限的兼容表达。也就是基础的前提定义是条件性的，可变的、或者兼容的。例如古代的方，可以代表无限大的空间；但如果它代表有限大，那么其外是方外。这就是古代的数理兼容表达方式。

也就是虽然我们都在说空间，但是，基于的前提表达目的不同，说的可以是不同的空间概念。

空间由面组成，就像一叠纸（面可以是欧氏的平面，也可以是非欧氏的曲面）；面由线组成，不唯一的线（线可以是欧氏的直线，也可以是非欧氏的曲线，当然还有一种，就是兼容直曲定义的数理表达－－点动成线，这通常也被考虑为非欧式的表达。它与通常的非欧几何曲面不同的地方在于，它是兼容直曲的表达。而非欧几何是基于特定曲线的表达。）；

所谓的表达不同，仅仅在于你基于什么样的线的原始定义。这里需要留神，数学从未较真点的几何形状。

那么，线的基本单位是长度单位；面的基本单位是面积单位，长度的平方；空间的基本单位是体积单位，长度的立方。这是欧氏数学的基本构想。面积、体积也都是一种数学定义，抽象简化表达的结果。

有了这种定义的意义在于，方便我们的几何比对。我们可以用一个数字结果（一维的解读方式）或者再加上一个条件（也就是二维的表达方式），来表达二维、三维几何结构的一些不同的信息。

欧氏与非欧氏几何（不包括超体几何）在这方面依然是可统一表达的。

例如面积为5的比面积为4的面积要大一些；或者体积为10的比体积为9的能容纳更多的东西。尽管我们并不知道其原始形状。

也就是这种降维表达方式，优点是简便，但缺点是 并不是全部的信息都可被降维表达出来。

这是降维表达的一个容易被忽略的基本问题。

对于降维表达之后不能获得的原本的其他信息，我们只能猜想。而猜想会有对与错的差别。这是数学的这种方法或者说表达方式造成的必然结果。

为了降维后依然表达原有维度的全部信息，一是要明确有数学逻辑意义的降维方式，二是增加降维后的描述条件，以弥补降维方法带来的原本的信息的丢失。

例如机械制图的投影方式，三维的圆柱体在二维的数学投影有两种：长方形，圆形。如果没有这个图，只给你投影的结果，你如何猜测或者计算原来的物体形状呢？

三维体的特定的直角坐标系中的三面投影，提供了三种不同的信息，这样你可以数学性的推导出三维的几何形状。当然，这也有其他的辅助信息。

例如增加透视性的投影。假如圆柱体中间有一个洞，不能直观看到，就需要用虚线来表达这种几何形状的信息。这是数学方法，恢复降维表达几何原貌的方法。

而如果我们并不是基于明确的这种数学方法的投影，而仅仅是利用部分原理获得的是一个圆的投影这种二维的信息，那么我们会猜想出很多种三维的可能性：圆柱、球、椭球等等。当然，也有蒙对的可能性而已。对于自然科学，这就可能出现盲人摸象的问题；而对于人文科学，会很浪漫很玄幻，变成发散性的思考。

对于三维的这种数学性投影方法，若恢复原貌，需要三个投影方向的信息，且需要虚、实两类信息。也就是利用二维的方法，实际包含了6种信息才能准确恢复三维的原貌。

那么对于两种四维数学方向的降维：四维时空、四维超体呢？恢复其原有全部信息需要多少种三维的投影信息呢？这方面，数学依然在利用如同三维的投影方法，但是暂时并未有明确的约束表达。我们依然是基于某种数学方式获得多个三维或二维的投影来”数学逻辑推理“四维的信息，这种推理的四维信息是否全面，是否唯一，是否一定正确呢？这并不像三维制图一样成熟，依然在 探索 ，依然是数学问题。也就是我们高维降维的数学方式是否是信息可逆的唯一性表达呢？

至少四维时空获得的降维结果通常是两个，基于虚数i旋转方向的不同，即便是同样的旋转角度，逆时针与顺时针会得到两个降维结果。这两个结果的取舍依据、解读依据是什么？而现在通常是两个都采用，分别或者共同解读，这种解读方式是否有问题呢？在虚数实数化表达的时候，一些人仅仅采取单向的旋转方式，得到一个结果，数学上有问题。但是，两个同时解读，解读上是否有问题呢？例如时间锥的负值的解读，何以导致祖父悖论。这是笔者思考的数学问题。也想得到满意的数学逻辑性的答案，但是，暂时并未发现。

而四维超体的胞体空间的三维降维结果是不唯一的，多个甚至无限多个。例如旋转的陀螺实际是四维超球的三维降维之一，那么旋转的陀螺是否是四维超球的所有性质呢？并不是，仅仅是四维超球性质中的一种或者说一部分。

这就是四维体系降维到三维与三维体系降维到二维的不同。而我们现在通常采取相同的降维方式并且简单假设这两种体系的降维结果是相同的。

物理方面，对于四维时空方法的不肯定性体现在：我们验证了百年，也仅仅验证了总时空的局部，局部地、个别地验证了四维时空降维到三维的一些现象，却不能或者不敢定性总时空的性质，例如上帝是否掷色子的争论。同时，对于同一个总时空依然还有不同的理论物理假说存在，同样可以解读已观察到的现象。这也说明了这个数学问题。我们在用三维的现象试图解读四维的系统的整体机制，由于降维过程中的信息丢失问题，这存在不肯定性。

投影的方式有很多种，并不仅仅是数学方式的投影。

例如油画使用的投影方式是点透视方式；而中国画的大幅山水画的投影方式是散点透视（漫点透视）方式。这也是投影方式。基于传统的画的二维表达，我们要猜测画的背面是什么样子的，脑补一些画本身并未提供的三维信息。

影子也是最简单直接的投影。

投影这种方法，相当于我们通过影子来分析高一维度物体的原来信息，如果你看过手影（三维到二维的点光源投影效果）这种 游戏 ，你就知道，这种用降维的投影方式，如果获得的信息不足够（这种信息包括方法本身的数学逻辑性、全面性的成立），要搞清楚原来的所有信息会有多么的难，甚至如果没有必要的其他辅助信息，这存在不可行性。

欧氏三维空间的物体涉及“明暗”的问题；非欧氏的四维时空涉及虚实的问题，虚时空依然在欧氏三维体系内，表达了基于平直三维体系之外多一个影响因素的体系产生的弯曲影响效应；非欧氏多维空间（大于等于四维的超体胞体空间）也涉及虚实问题，但是这种胞体空间并不在欧氏三维体系中，或者说不能兼容解读。

为了解决三维体的直观可见与直观不可见，三维体的二维投影采用了”明暗“分类的方式。上文提到的制图方法中的数学投影方式，对于不可直接看见的几何结构，用虚线来表达；这是否可以全部解决问题呢？

对于隐藏结构极其复杂的，数学为了表达准确，又增加了一种二维信息，也就是剖视图。这样才能避免内部隐藏的复杂结构在三维复原的时候出现问题。

这依然还有数学问题。对于极其复杂的整体结构，数学又补充了一种分解图。

这就是我们现在使用的二维图纸，整体上采用了四类（实线、虚线、剖视、分解）规定性的投影制图方式，才解决一个复杂系统的三维复原。而这还不包括其中的细节，如精度、斜率、海拔、材质等其他辅助信息。这是基于纯粹的欧氏几何的方法。

而近一百年，我们利用非欧几何的方法，用二维和三维的方式来描述四维的系统，类似的复原信息的复杂性正在体现出来。并不是一个相对论就解决了总时空的所有问题，而是又涌现出一堆相对论不能解释的问题来，进而导致不同的理论物理假说的产生。也就意味着我们在复原我们这个总时空包含的四维时空的系统过程中，依然可能还有丢失的信息。

这又涉及一种空间问题，欧氏几何的数学制图方法涉及的问题是“明暗”，而暗是事实的存在。而非欧方法的时空，涉及的问题是虚实，虚有两种可能：一种是存在的影响效应（四维时空）；一种是可能就不存在（四维胞体空间）。至于把虚数就当实数用，数学并不支持。但是，在通常的使用中，虚实混用却正在进行。

在二维体系中，无论实数坐标系还是虚数坐标系，存在混用的数学基础。因为i是基于二维的前提定义。但是，在解读上，这两种体系并不相同。而现在在解读上也存在混同的问题。i是基于非实数域的，可以表达不存在、或者潜在影响、或者不可见。而实数可以表达存在、或者直接影响、或者可见。解读上原本不同。

到了三维，虚实组合会有不同的区别。例如两个实数轴一个虚数轴，还是一个实数轴二个虚数轴。这方面的具体研究并不多，通常被混用。特别是物理假说方面，为求数理上的一统，混用较常见。忽视了数学上的解读并不相同的问题。

到了四维，虚实组合更加复杂，现在物理的四维时空是三个实数轴、一个虚数轴；而四维超体，是假设四个都是实数轴意义的数学表达。

至多维，这种数学分化更严重。超体几何的多维超体是基于多个（大于3个)实数轴的表达；而物理界的五维时空是基于假设四维时空是平直的（现在已经证实四维时空并不平直）再增加一个圆的非欧类假设系统，与四维时空也不同；欧氏几何不存在四维空间概念；而有意义的虚数数学方向研究就是四元数、八元数。也就是基于一个实数轴，其他是虚数轴的系统。这些都是并不兼容的数学系统。

而数理文化的多维将多维超体的三维投影并不唯一的数学事实湮灭，假设其唯一，同时混同四维时空，就可以随便穿越所谓的数理空间了。

在数学认识不清的前提下，数理文化有将虚实坐标轴混用的倾向；理论物理假说有将虚实的解读混淆的倾向；而数学文化，基于非欧的前提定义，各自发展，很多内容并不兼容了。

实数空间，用实数性的解析几何方法描述；虚数空间，用带有虚数的解析几何方法描述。

那么基于带有虚数的解析几何方法的非欧氏几何方法面临的问题有两种：

基于非欧的四维时空的前提定义，如果影响因素是四个或者更多，造成平直系统的弯曲效应。四维时空是相对论，五维时空是假设四维时空是平直的，五维时空再增加一个圆。天文学的一种理论研究方向是沿着这个思路的思考。这是爱因斯坦的老师在狭义相对论之后提出来的。这与非欧的超体维度的前提定义是不同的，也不可能兼容表达。

虽然我们已经知道四维时空是弯曲的，并且证实了这种影响效应。但是，在大尺度上，假设这个曲率很小，可以忽略不计，就会产生物理这种五维时空的数学拟合思路。

这与笔者否定数理玄学的五维空间基于不同的前提定义提出的五维也是不同的。

四维的其他数学构想，五维、多维的构想面临的数学和物理验证问题

基于非欧的超体的前提定义，如果影响因素是四个或者更多，无法直观三维静态表达了。

非欧方式的思考，前提的定义不同，通常会导致逻辑结果的不同。每一种非欧方式的思考，其前提定义是必须要关注的。如果混同，通常会陷入数理玄学。