贝塞尔曲线基础知识

在探索游戏开发基础知识时，贝塞尔曲线引起了我的兴趣，近期我重温了games101的内容，并通过其他资料深入了解了贝塞尔曲线，还实现了曲线偏移的算法。

当需要描绘众多点的平滑曲线时，通常首选多项式拟合，因其连续可微性。然而，随着点数增加，为精确拟合可能需要提升多项式的阶数，这可能导致曲线出现振荡，即使消除也难以获得理想光滑度。贝塞尔曲线的出现解决了这个问题，它能提供相对平滑且可控的曲线形状。

法国工程师皮埃尔·贝塞尔在1962年广泛推广了这种曲线，他将其应用于汽车设计中，贝塞尔曲线是二维图形设计中的数学工具，由一组控制点定义，这些点通过构建控制多边形来影响曲线的形状和特性。

对于n+1个控制点，贝塞尔曲线通过递归性质生成，例如，三次贝塞尔曲线C0123由C01和C123两个一次贝塞尔曲线的线性组合产生。控制点P0、P1、P2决定了曲线的基本形状，通过调整它们的位置，可以精细调整曲线的路径。

当曲线形状需要局部改变时，对于高阶贝塞尔曲线，我们可能需要使用分段贝塞尔曲线。通过将曲线分割成多个低阶部分，只调整需要改变的区间，保持整体曲线的稳定性。细分算法能根据原始控制点生成更多曲线，确保各段之间的平滑过渡，即C1连续，这是通过调整连接点的handle（控制柄）长度和位置实现的。

总结来说，贝塞尔曲线通过控制点的组合，通过递归插值生成一系列点，最终形成连续可微的曲线。掌握这一原理，不仅在游戏图形设计，还有其他领域如动画和图形渲染中都至关重要。